第七十一幕.莱纳的数学教室（下）

已故的法则系高阶法师安德尔.卢瓦尔对抛物线的定义是平面上到一个定点的距离等于到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹，而那个定点便是抛物线的焦点，那一条定直线就是抛物线的准线。

“这条抛物线的准线方程是y=-p/2，焦点则是(0，p/2)，引入极坐标，可以得到x=r*sinθ，y=r*cosθ+p/2。”

莱纳在黑板上流畅地书写着，他之前已经自己推导过一遍，因此现在只不过是复述而已。

“那么，这个抛物线上的点a到准线的距离就是r*cosθ+p，到焦点的距离就是r，根据定义，这两者应当是相同的，即为r=r*cosθ+p，稍微化简一下，以θ为自变量，就能得到一个表达式r=p/（1-cosθ）。”

计算式子在黑板上不断被书写，犹如一条条神秘的咒语，指引着一个奇妙的世界。

“将其带入原始的函数方程，很容易就能看出这两者是等价的，不过是同一个抛物线在不同坐标系下的不同数学表达而已。”

而很明显，极坐标的函数方程十分简洁，即便是丹娜，也能很快算出其中的值。

莱纳在查阅这个世界的数学资料时，发现出人意料的，这里的数学发展比起其他方面的发展要落后许多，虽然各种曲线方程，三角函数的发展已经很快，大部分数学概念已经被确定下来，但涉及到微积分与数论方面的知识却鲜少有人讨论，至于虚数的领域更是尚不存在。

法则系的传奇法师伊萨里斯.艾伯顿阁下是微积分的创始者，但他最开始不过是为了用来描述自己的运动三大定律，完全没有想到将其发扬光大。

微积分的普及还是在数年之后，刚刚成为高阶法师的艾伯顿阁下所在的学校面临经费危机，他才想到将微积分作为法则系学生的必修课，当年学校的重修费收入便提高了百分之五百以上，顺利度过了危机，而微积分也开始成为中高阶法师们构筑法术模型时候的参考。

究其原因，莱纳认为有两点。

第一点，这毕竟是一个魔法的世界，古代法师们在没有任何数学理论的基础上照样发展出了灿烂辉煌的文明，对于绝大多数法师而言，经验直觉远比计算来得方便，而越是高阶法师，这一点体现得越明显。

用一个简单的例子来说明便是测量一个不规则桶的容积，人们既可以选择将其分解，不断积分得到最终答案，也可以选择直接用魔力灌满，得到答案，而后者显然简单粗暴得多。

高阶法师们就像是拥有强大计算力的机器，哪怕只用单纯的穷举法也能完成绝大多数法术模型的计算。

数学在这个世界归根结底还只不过是捷径，而强者不需要捷径，弱者的学识又不足以找到新的捷径，因此这个学科的发展一直没有人推动。

如今数学成果的进步大多还仰仗于现实中遇到了难以解决的问题，人们才会转头去寻求数学的帮助。

第二点，也是最重要的一点，那就是数学的发展无法获得世界的反馈。

即便莱纳提出了极坐标体系，但世界的反馈几乎不存在，一千八百年前泰勒斯.阿纳克希提出了三角形的阿纳克希定理，这重大发现却完全得不到世界的反馈，一度让他以为自己弄错了。

艾伯顿阁下创立的微积分也没有对他构筑法术模型和收获学生的怨念之外产生任何帮助，也正因此，直到现在，在法师的派系中也并没有专门研究数学的一派，更没有数学家，研究者大多分布在法则系与元素系之中，专注于用数学知识优化法阵与法术模型，更倾向于应用数学。

这个世界的学术体系之所以蓬勃发展，人们之所以对真理求贤若渴，很大一部分原因便是对世界真实的探索能够获得反馈，获取力量，而看起来“一无是处”的数学，自然就无人问津了。

“这太奇妙了。”

丹娜小声说道，倘若以莱纳得出的公式，即便是她也能快速得到魔力通道的轨迹方程，她在今天之前，从来没有意识到数学竟然有这种奇妙的力量。

克莱尔陷入沉思，她想了想，才举起手，提问道。

“可这只能解释抛物线的轨迹，法术模型里还有更多更复杂的曲线，比如椭圆和双曲线，这些该怎么办？”

“这就是问题所在。”

莱纳微微一笑，接着在黑板上画出一个椭圆，建立极坐标，开始推演。

“椭圆的定义是平面上到两个定点的距离等于一个常数，并且大于两个定点之间距离的点的集合，同样存在着准线与焦点，定义可以转化为平面上到定点的距离与到准线的距离的比值为常数的点的集合，以同抛物线类似的方法带入......”

莱纳的板书很规整，简单明了，丹娜也能迅速理解。

最终，椭圆在引入极坐标之后得到了一个公式r=e/（1-e*cosθ），e=b^2/a，e=c/a，a是椭圆的长轴的一般，而b则是短轴的一半，而c则是两个焦点之间的距离。

“这两个公式，很像。”

丹娜意识到了一些问题，但却没办法得出结论。

没有等待她们仔细思考，莱纳又开始推导双曲线的极坐标方程。

双曲线是到两个定点的距离之差的绝对值等于常数，且小于两个点之间距离的点的集合，莱纳已经推导了抛物线和椭圆的极坐标方程，因此很快就得到了双曲线的极坐标方程。

r=e/（1-e*cosθ）。

这三个方程的形式惊人地一致，让克莱尔与丹娜惊讶得说不出话。

“实际上，我们可以假设抛物线也存在一个e，只不过这个e的值是1，而焦点与长短轴的长度也能统一，这样来看，椭圆，双曲线，抛物线实际上可以用同一个极坐标方程表示，而决定它们不同的便是这个e，我定义其为离心率。”

看着黑板上三个迥然不同的曲线与一大串推导公式，莱纳说道。

“当离心率小于1，那么便是双曲线，当离心率大于1，则是椭圆，而当离心率等于1，便是抛物线，当离心率等于0，那么这便是一个正圆。”

他的结论看似难以接受，但一步步的推导过程却又是如此明晰，克莱尔与丹娜挑不出任何毛病。

“由此，我们可以证明这几种曲线其实是同一种曲线在不同情况下的变化，同时给这几种曲线下一个更加精简且统一的定义：平面上，与一个定点的距离与一条定直线的距离的比值为常数的点的集合，这个常数便是离心率e！”

放下粉笔，莱纳轻声说道。

“证明完毕。”