第0081章 黎曼猜想
类别:
现代都市
作者:
阿依土鳖公主字数:2305更新时间:22/07/06 22:31:48
欧拉乘积公式的推导过程,大学课本里还是有的,但又有多少人会自己推导一遍呢?
将公式直接拿来用就完事了!
经过田立心连比带画地将这个公式推导了一遍,许多人都豁然开朗了。
但还有不少人根本就不知道,这个公式的意义在哪?
欧拉乘积公式的意义在于,对全体质数的某些运算可以转移成对全体自然数的运算。这么一来,通过研究对自然数的求和Σnn-s,就有可能对质数获得更深刻的认识。
这个求和是非常重要的,所以它有一个专门的名称,黎曼ζ函数。
这个函数明明是欧拉先提出来的,为什么会叫黎曼ζ函数呢?
田立心并没有立即给出答案,而是提出新的问题,“我们来到第二个部分,我来先问几个问题,两个自然数互质的概率是多少?什么是互质?n个自然数互质有没有通项公式呢?”
“自然数互质,意思就是它们没有共同的质因数,它们的最大公约数是1。例如2和3互质,2和15互质,但15和21不互质,因为15和21都以3作为质因数。由此得知,任意两个不同的质数是互质的,一个质数和一个不以它作为质因数的合数是互质的,1和任意自然数都是互质的。”田立心解释了互质的概念后,便利用欧拉乘积公式写下了两个自然数互质的数学表示方法,并一步步计算了下去。
计算的结果显示,得到n个自然数互质的概率正好等于所有自然数的倒数之和,这个数也称为调和级数也就是1/ζ(s)。
特别说明,这个函数中的s是大于1的。
也就是说,随着s趋于无穷大,ζ(s)=Σnn-s当中只有第一项1不受影响,后面的项都迅速地趋近于0,所以ζ(s)会趋近于1。相应的,s个自然数互质的概率会趋近于100%。
要是s=1呢?
ζ(1)会等于无穷大!
也就是说,调和级数是发散的!
但在这个推导过程中,是包含一个前提的,就是ζ(s)是一个有限值,或者说ζ(s)是收敛的。
只有在这个前提之下,才能将它当成一个正常的数进行各种操作,例如乘以1- f(2),消去所有包含2n的项。
假如ζ(s)是发散的,这样的操作就是毫无意义的,这会带来各种各样的错误结果。
被人调侃的全体自然数之和等于-1/12,便是这样计算出来的错误之一。
那么,全体自然数之和等于-1/12,又是怎么被人证明出来的呢?
这就要说到黎曼了。
黎曼是德国著名的数学家,数学王子高斯的弟子。
黎曼在二十八岁时发表了题为《论作为几何学基础的假设》的演说,就此创立了黎曼几何学。他将曲面本身看成一个独立的几何实体,而不是把它仅仅看作欧几里得空间中的一个几何实体,后来,爱因斯坦也是运用黎曼几何和张量分析工具,才创立了新的引力理论广义相对论。
全体自然数之和等于-1/12,就是黎曼在运用欧拉乘积公式中偶然得到的副产品。
正是在这个错误的结果的启迪之下,黎曼对欧拉乘积公式的运用提出了四条脉络。
一,应该把ζ(s)中的自变量s理解为复数,而不只是实数。
二,可以通过解析延拓,让ζ(s)在s小于1的地方也获得定义。
三,通过对ζ(s)的研究,可以对小于等于某个数的质数的个数,给出一个明确的表达式,在这个表达式中唯一未知的就是ζ(s)的零点的位置。
四,黎曼猜测ζ(s)的零点都位于某些地方。
由此可见,黎曼在欧拉ζ函数上的研究上,显然是比欧拉更进一步的。
他在加入解析延拓之后,使得ζ(s)在s小于1的地方获得定义。
由此,欧拉ζ函数也就升级成了黎曼ζ函数。
解析延拓又是什么呢?
解析延拓就是扩大一个函数的定义域,使得该函数在一些原本没有定义的地方也有了定义,而在原本有定义的地方还跟原来一样。
例如,在-1,1的区间里定义了一个函数y=x,它的函数图像是一条线段,从(-1,-1)连到(1,1)。将这条线段向两边延伸,而且可以延伸得任意远,这么一来,这个函数的定义域就从区间(-1,1)扩展到了整个数轴。
全体自然数之和等于-1/12的结果,正是黎曼在解析延拓的计算中得来的。
正确的表达方式应该是这样的,ζ(-1)=-1/12。
黎曼将黎曼ζ函数变形之后,写出了由一个阶梯函数、两个对数积分函数和一个质数计量函数组成的等式,并将这个结果发表了名为《论小于给定数值的质数个数》的论文,等式左边的阶梯函数表示一个质数的n次方等于1/n个质数。
这意味着,这个函数是和质数的分布是相关的。
等式另一边,其中一个是对数积分函数,其自变量取的是黎曼ζ函数的非平凡零点。
从公式中不难看出,质数的全部信息都包含在黎曼ζ函数的非平凡零点之中。
黎曼ζ函数的非平凡零点的位置又在哪呢?
一个非平凡零点p的实部和虚部经常被记为σ和t,即p=σ+it。黎曼很快就证明了,p不可能出现在σ大于1或者σ小于0的地方。也就是说,非平凡零点只可能出现在0≤σ≤1的区域里。
在复平面上,这对应于一条宽度为1的竖直条带,人们把它称为临界带。
而根据黎曼ζ函数的形式,很容易发现零点对于实轴是对称的。
如果σ+it是一个零点,那么它的共轭复数σ-it也是一个零点。
因此,非平凡零点总是上下成对出现的。
再根据黎曼的函数方程,即ζ(s)与ζ(1-s)之间的联系,很容易发现非平凡零点对于σ= 1/2这条竖线是对称的。
也就是说,如果σ+it是一个零点,那么1-σ+it也是一个零点。
黎曼计算了几个非平凡零点的位置,发现它们的实部都等于1/2。例如第一、二、三个非平凡零点,实部都等于1/2,而虚部分别约等于14.1347、21.0220和25.0109。
随后他就做出了一个大胆的猜想,黎曼ζ函数所有的非平凡零点,实部都等于1/2。
而这,就是黎曼猜想。