第0103章 正式开赛

次日，八点半，国奥赛正式开始。

选手们拿着零食、饮料、参考书、作图工具等，在规定的时间内纷纷走入考场。

嗯，比赛是可以带食物和参考书的，毕竟比赛时间太长了，而这原本就是开卷考试。

除了不能携带电子设备入场，其他的一切都像参加冬令营那样轻松写意。

田立心手上却只拿了作图工具和一瓶水。

走入考场后，田立心发现这教室一共有二十五位考生，每位考生的桌面上都插着一面国旗，这些考生基本都来自不同的国家。

旁边坐的正是有前些天见过的宝岛女生，她也是教室里唯一的女生。

左前方，是一位阿三选手。

右前方，是一位俄国选。

除了旁边的宝岛女生，周围坐的都是来自各大数学竞赛强国的人啊。

不过，宝岛姑娘的桌上虽插着梅花五环旗，本质上，也同属于华夏这个竞赛强国嘛。

时间一到，两位监考老师就将试卷分发了下来。

拿到卷子后，旁边这位女生的脸色就不那么好看了。

试卷是翻译过的，她的卷子上肯定也同为汉字。

看不懂题，是不能用外语太差来背锅的。

对田立心来说，第一道门槛题倒还真是送分题，他只略一思索就有了思路。

这道题的题目是这样的，“对全体满足a，b，c，d，e≥-1，a+b+c+d+e=5的实数，求s=(a+b)(b+c)(c+d)(d+e)(e+a)的最大值和最小值。”

先设a+b=a，b+c=b，c+d=c，d+e=d，e+a=e，s为五个数的乘积。

讨论s的最大值时，abcde这五个数必为五个正数或有偶数个负数奇数个正数，这样的情况分为三种，即五个是正数，或一个正数四个负数，或三个正数两个负数。

求s最小的最小值，则abced中的负数必为奇数个，其分别为五个负数，或三个负数两个正数，或一个负数四个正数。

有了这个思路之后，解题步骤可以一蹴而就了。

解：令a+b=a，b+c=b，c+d=c，d+e=d，e+a=e，则abcde均大于-2，a+b+c+d+e=10。

1，先讨论abcde都为正数的情况，由算数几何平均不等式可知，则s≤（（10/5）5=32。

a=b=c=d=e=1时取等。

当abcde中有一个正数四个负数时，设a>0，bcde四个数都小于0。

由b+c<0可知，a≥5，

又因为e≥-1，所以e≥4。

与假设矛盾。

舍去。

当abcde为三个正数两个负数时，有相邻两个为负数或间隔出现负数这两种情况。

两个负数相邻时，令a=b=-2。

则c+d+e=(-1＋d)+(d＋e)+(e＋-1)=14

即d=d+e=8，而ce≤(c+e)/4=(d+e-2)/4=9当且仅当c=e=3时取等号，此时s=2x8x9=288.

两个负数间隔出现时，令a，c<0取-2时，a，b，c，d=-1，b=b+c<0

与假设矛盾。

舍去。

综上，s ≤288，当a=b=c=-1，d=e=4时取等。

2，当abcde都为负数，那么abcde<0也成立，与a+b+c+d+e=10矛盾。

舍去。

当abcde有三个负数一个正数时，令abc都为负数，则有a，b，c≥-2。

由此得到d+e≤16，cd的乘积≤64，。

故有s≥64*(-2)(-2)(-2)≥-512，a=b=c=d=-1，e=9时取等。

当abcde有一个负数四个正数时，令a为负数，取为0>a≥-2，

bcde≤（（10-a）/4）4≤81

那么，s≥81*-2=-162。

综上，s≥-512，a=b=c=d=-1，e=9时取等。

……

田立心满意地看着稿纸上的答案，随后就抄到了卷子上。

门槛题的7分，已经是妥妥的了。

继续。

第二道是平面几何题，“r和s是圆上非直径端点的两点，作t使得s为rt中点，j为rs劣弧上任意一点，△jst外接圆和r的切线交于一点a，aj和rs所在圆交于另一点k，求证：kt与△jst外接圆相切。”

田立心在草稿纸上画出图来，很快就有了解题思路。

对华夏的学生来说，平面几何都是送分题！

拿下这两道题，铜牌就已经算是到手了，但这离田立心的最终目标还很远很远。

第三题。

怎么还是几何？

“一个猎人和一只隐形的兔子在欧氏平面上玩一个游戏。已知兔子的起始位置a0与猎人的起始位置b0重合，在游戏进行n-1回合后，兔子位于点an-1，猎人位于点bn-1。在第n个回合中，以下三件事件依次发生。

（1）兔子移动到点an，使得an-1与an的距离恰好为1。

（2）一个定位设备向猎人反馈一个点pn，该设备唯一能保证pn与an之间的距离至多为1。

(3)猎人移动到点bn，并且满足bn-1与bn之间的距离恰好为1。

试问：是否无论兔子如何移动，也无论定位设备反馈了哪些点，猎人总能够适当地选择它的移动方式，使得经过10的9次方轮游戏后，猎人与兔子之间的距离不超过100？”

读完题，田立心凭直觉就知道答案是不可能了。

但做数学题不能只凭直觉啊，写出答案却没写过程的，零分不能再多了。

这题好像很难啊！

模拟猎人追击隐形兔子的物理场景，应该是关键性的第一步。

可以假设猎人和兔子在n个回合之后的距离s，必然存在0

首先，第一次追踪设备报告点p1=a0，那么不管猎人如何移动，都有可能与兔子移动的方向相反，此时距离s=2。

由于定位点的对称性，猎人于n步后到达的点bs+n有可能在直线bsas的下方，也有可能在bsas的上方。

这道题，还需要考虑循环节n和最大方向偏差角。

有了解题思路，田立心便开始在稿纸上画图了。

怎么将自己的想法转化成数学语言才是关键。

两个多小时后，田立心终于抬起了头，暗暗舒了口气，可算是把这道题解出来了！

只是，左前方的阿三哥和右前方的俄国选手呢？

都提前走人了？

这两货这么强的吗？

田立心也知道，有些国家虽不能拿到团队冠军，但总还是有一两个天才选手的。

算你们厉害好吧！

田立心将答案誊到卷子上，这才发现，离考试结束还有一个多小时呢。

他仔细检查一遍，便站了起来。

交卷！

邻桌的那位宝岛女孩，此时还正绞尽脑汁地想着怎么破解第二道题呢。

离开考场之后，田立心就在巡逻志愿者的护送下，很快就走出了警戒线之外。

随后，他一眼就看到了站在不远处的，正翘首以待的齐教授和副教练。

他们身边，已经有一位队员了。